Ist 0,999... = 1?

Hallo rundum

Ich bin gestern auf eine Gleichung gestossen, die mich stutzen lässt. Behauptet wird, dass 0,9999... exakt das gleiche ist wie 1, und dies sei ein mathematischer Fakt. Die Gleichung lautet wie folgt:

a = 0,999... | *10
10a = 9,999... | -a
10a - a = 9,999... - 0,999...
9a = 9 | :9
a = 1

Ist dies eine korrekte Vorgehensweise oder verbirgt sich darin ein Schritt, der unzulässig ist?

Gesetzt den Fall man nimmt tatsächlich eine unendliche Nachkommastelle, dann dürfte meiner Ansicht nach die Regel zutreffen. Wenn man irgendeine begrenzte Nachkommastelle nimmt und die hätte von mir aus 100.000 Nachkommastellen, dann trifft die Regel nicht mehr zu.

Voraussetzung muß also sein 0,999 Periode n

Hoffe, ich habe mich nicht vertan

Hm, leuchtet mir nicht so recht ein. Nehmen wir jetzt mal folgendes an:

a = 0,99999999999999998 | *10
10a = 9,9999999999999998 | -a
10a - a = 9,9999999999999998 - 0,99999999999999998
9a = 9
a = 1

Kommt doch aufs Gleiche raus?

Und selbst wenn wir jetzt mal davon ausgehen, dass deine Aussage richtig ist, dann belibt doch immer noch das Phänomen übrig, dass eine kleinere Zahl als 1 trotzdem GENAU 1 sein soll ...

Also wenn ich 9,9999999999999998 - 0,99999999999999998 rechne, kommt bei mir 8,99999999999999982 raus.

Wichtig sind hierbei die Nachkommastellen. Bei der 9,9999999999999998 hast du 16 Nachkommastellen und bei der 0,99999999999999998 hast du 17. Daher kann es nicht so funktionieren.

Uppsa, stimmt.

Dann bleiben wir aber immer noch bei dem für mich logisch schwer nachvollziehbaren Problem/Phänomen, dass ... und so weiter Ich versteh%27s einfach nicht

Also - gesetzt den Fall du hast 100 Nachkommastellen. Dann ist nunmal die Zahl 1 nicht gleich der Zahl 0,9999...9. Egal wie du es drehst und wendest.

Wenn man aber eine unendliche Nachkommastelle anwendet (also hoch n) dann funktioniert die von dir beschriebene Regel. Dann wären es nämlich immer gleich viele Nachkommastellen bei beiden Zahlen und das Ergebnis wäre richtig.

Weiß nicht wie ich es anders erklären kann *g*

Aber ich fand deine Aufgabe toll. Seit langer Zeit nicht mehr mit Mathematik beschäftigt. Ich bin wohl doch nicht so eingerostet

Ich glaube, du verstehst nicht, was für mich so problematisch an der Sache ist

Wie kann eine Zahl, die sich von der 1 unterscheidet, und sei es nur um den Bruchteil einer Unendlichkeit, dennoch GLEICHZEITIG GLEICH 1 sein ... Die 0,999... mag noch so viele NAchkommastellen haben, sie ist doch immer noch ein Quentchen kleiner als die 1 - aber laut diesem Rechenweg ist sie dann doch genauso groß wie 1 ... das erschliesst sich mir logisch nicht.

Abalone schrieb:
(1) Wie kann eine Zahl, die sich von der 1 unterscheidet

(2) und sei es nur um den Bruchteil einer Unendlichkeit

(3) Die 0,999... mag noch so viele NAchkommastellen haben, sie ist doch immer noch ein Quentchen kleiner als die 1

(4) aber laut diesem Rechenweg ist sie dann doch genauso groß wie 1 ... das erschliesst sich mir logisch nicht.

zu 1: Genau da liegt der Punkt, sie unterscheidest sich nicht von der 1.

zu 2: Es gibt keinen Bruchteil einer Uendlichkeit, denn ein Bruchteil einer Unendlichkeit wäre immernoch unendlich.

zu 3: Nein, ist sie nicht, Begründung folgt später.

zu 4: Nicht nur laut diesem Rechenweg.

Generell mal eine andere Verdeutlichung:

0,3333333333.. = 1/3

3 * 0,3333333.. = 0,99999999..

3* 1/3 = 1

Solte etwas klarer sein als Beweis.

Generell liegt das Problem weder bei Nachkommastellen, noch bei rechnerischen Problemen. Das Problem liegt im Verständnis der Unendlichkeit. Mathematisch betrachtet müsste man etwas tiefer in die Mengenlehre einsteigen, um es wirklich zu verstehen.

Kleiner Tipp: einfach mal bei google nach Mächtigkeit, überabzählbar, Mengenlehre und mathematischer Unendlichkeit suchen.

Bei Fragen, einfach fragen, ist zwar schon ein wenig her, aber dies ist eine der ersten Veranschaulichungen aus dem Mathestudium *g*

Danke, Zed.
Das sieht schon einleuchtender aus - aber irgendwie ist es immer noch verwirrend *g* Werde mich mal näher mit deinen Stichworten beschäftigen, finde diese mathematische Unendlichkeit doch sehr interessant.

Achja, das mit dem "Bruchteil der Unendlichkeit" war eher poetisch gemeint

Hallo

Leider habe ich nur die Hauptschule besucht und demnach auch kein Mathestudium absolviert.

Soweit ich mich erinnere mußte auf beiden Seiten einer Gleichung auch die gleiche Rechenoperation ausgeführt werden.

Ausgangssituation von Abalone:
a = 0,999... | *10
10a = 9,999... | -a
10a - a = 9,999... - 0,999...
9a = 9 | :9
a = 1


Meiner Meinung nach nicht richtig
Meine Lösung wäre
http://img295.imageshack.us/img295/8571/formelku1.jpg

Kann aber auch verkehrt sein, bin ja nur Hauptschüler!

Verkehrt würde ich nicht sagen, nur noch nicht ganz zu Ende gerechnet

Den letzten Term

http://www.lolope.de/meetinx/gl01.gif

kannst du noch weiter vereinfachen

http://www.lolope.de/meetinx/gl02.gif

Nächster Schritt

http://www.lolope.de/meetinx/gl03.gif

Somit sind wir wieder bei a = 1

[edit] Achja, das Rechenbeispiel stammt nicht von mir, sondern ich bin darüber gestolpert - aber nichtsdestotrotz wurden auch bei der Ursprungsrechnung bei jedem Rechenschritt auf jeder Seite die gleichen Rechenoprationen durchgeführt.

Ganz ehrlich - ich bin immer noch ziemlich skeptisch was diese Rechnung angeht. Wie kann man 0,999 Periode denn als Bruch darstellen? Das wäre ja dann prinzipiell 999 Periode / 1000 Periode oder nicht?

Ob nun mathematisch oder nicht: Die Zahl 0,999 Periode kann doch nicht gleich eins sein.

Also ich habe mal gerade mit meinem Bruder telefoniert weil mir das Thema keine Ruhe gelassen hat. Leider ist er gerade unterwegs aber er hat mir versprochen, das er entweder direkt im Forum oder mir die Lösung mitteilen wird.

Seiner Ansicht nach kann 0,999 Periode niemals gleich 1 sein. Ich bin gesapnt.

ganz witzig auf jeden fall, aber googeln hilft.

der verstand sagt es ja, dass da irgendwas nicht funktionieren kann. auch wenn die infinitisimal kleinen anteile nicht in der rechnung darstellbar sind, darf man ja nicht vergessen, dass die trotzdem da sind. denn 9,999... - 0,999.. im schritt 3 auf der rechten seite ergeben nicht 9, sondern 8,999... , wobei der anteil welcher bis zu der annäherung an die 9 um ein 9 faches grösser ist als bei der 0,9999 bei der annäherung an die 1.

um sich das zu veranschlauclichen hilft vielleicht die rechnung mit 0,99 dann 0,999 wenns dann nicht klar ist mit 0,9999 und so weiter.

eine mathematische begründung mit lauter fachbegriffen würde natürlich auch gehen.